So, kurzer Zwischenbericht.
Ich konnte das Problem lösen, komme aber zu dem Schluss, dass das Gerät vorher dejustiert gewesen sein muss.
Natürlich hatte ich den Mode Selektor vorher nicht getestet.
Am Ende gibt es 2 Dinge, die justiert werden wollten.
Zum einen das Führungsstück am Segment, wie von Matthias beschrieben.
Danke für den Hinweis.
Zum anderen ist das Segment an einer definierten Stelle etwas gebogen, wie hier ganz gut zu erkennen ist.

Dieser Knick dient einer genaueren Einstellung, wie ich im Folgenden beschreibe.

Schauen wir uns die Umgebung um das Segment herum an.
Grundsätzlich wird durch Betätigung des Mode Selektors der Tonarm angehoben oder abgesenkt.
Dabei wandert das Segment mit (es ist nur auf der zentralen Achse aufgesteckt), es sei denn, es wird auf der gewünschten Position festgehalten.
Dies geschieht durch das Führungsstück (3).
Der Bolzen hat 2 Rasterungen, die den Tonarm inklusive Segment im Multi- oder Singlemode festhalten.
Ist das Führungsstück nicht ordentlich justiert, dann wird bei Betätigung des Modeselektors das Segment auf einer Höhe festgehalten, die verhindert, das die Rastpunkte im Bolzen erreicht werden.
Man sieht es ganz gut am Gummi (4), der sich beim Einrasten zusammenzieht, weil die Kugeln in die Rasterung greifen.
Bei diesem Exemplar war es genau so, dass die Rasterung nicht oder oftmals nicht erreicht wurde.
Das führte zumindest hin und wieder dazu, dass der Tonarm nicht auf der gewünschten Höhe einrasten konnte (es geht um mm).
Was man dann dadurch bemerkt, dass der Tonarm in seiner horizontalen Bewegung gehemmt wird.
Warum das dem Vorbesitzer nicht aufgefallen war, kann ich mir nur schwer erklären, aber es gibt meines Wissens nach keine Möglichkeit, die Höhe des Tonarms und damit die Position der Rasterungen zu verändern.
Ich vermutete zunächst verharzte Fettrückstände im Bereich der Feder des Hubstücks, konnte aber nichts finden.
Ich habe den Tonarm nochmal komplett ausgebaut und alles penibel gereinigt.
Daher bleibt mir nur die Schlussfolgerung, dass das Führungsstück nicht ordentlich eingestellt wurde.
Es musste einige mm weiter nach unten (also weg vom Chassis), so dass der Tonarm seine Bewegung weiter nach unten auf die Höhe der Rastpunkte beenden konnte.
Die rote Linie beschreibt übrigens die Knickkante, an der das Segment gebogen wird.
Durch die grundsätzliche Absenkung des Tonarms und des Segments um wenige mm ergab sich nun im Singlemode das Problem, dass der Stift des Segments beim Einschalten die Klinke nicht mitgenommen hat (2).
Das Segment saß einfach zu tief.
Daher musste ich etwas nachjustieren und den gebogenen Teil des Segments etwa 1mm zurückbiegen.
Das erfordert etwas Feingefühl. Zuviel und das Segment verpasst den Anschlag an der Stellschiene für die Aufsetzposition, zu wenig und die Klinke wird nicht mitgenommen.
Bei mir hat es zum Glück auf Anhieb geklappt, aber nun arbeitet das Gerät einwandfrei und der Tonarm rastet auf beiden Position, also Multi und Single, sauber ein und wird auch nicht in der Bewegung gehemmt (Pustetest und Antiskatingtest erfolgreich).
Dann fiel mir noch auf, dass dem Plattenspieler am Kurzschließer trotz DIN-Stecker eine Verbindung zwischen den Massen fehlt.
Die separate Masse ist zwar mit der Masse des rechten Kanals verbunden, aber die Verbindung zur Masse des linken Kanals fehlt.

Ich vermute, dass die Verbindung über den Stecker gelöst wird.
Da ich aber entgegen meiner bisherigen Vorgehensweise das Kabel erhalten möchte und nach allgemeiner Empfehlung die Cinch-Stecker an die Kabelenden anlöten werde, habe ich kurzer Hand eine Verbindung eingelötet.

Das Kabel möchte ich bei diesem Gerät nicht tauschen, da die Goobay-Kabel doch recht dick und für die in der Grundig-Zarge vorhandenen Zugentlastung kaum geeignet sind.
Ich bin gespannt, ob es gut funktioniert, aber es gibt ja bereits gute Erfahrungen, wenn man bei der Cinch-Verkabelung die Masseverbindungen nicht trennt und dafür auf eine separate Masseleitung verzichtet.